Aquí está una lista de las mejores peleas de Cuevas. Para una lista de las pérdidas de Cuevas, consulta "José Cuevas Pérdidas".
El 17 de julio de 1976 José Cuevas se enfrentó a Ángel Espada en un combate titular de welter por el título AMB de Espada. Cuevas tenía 18 años y un récord de 16-6 (14). Cuevas detuvo a Ángel Espada por asalto 2º TKO y se convirtió en el nuevo campeón welter mundial.
El 12 de marzo de 1977 José Cuevas se enfrentó a Miguel Ángel Campanino en un combate titular de welter por el título AMB. Cuevas tenía 19 años y un récord de 18-6 (16). Cuevas detuvo a Miguel Ángel Campanino por asalto 2º KO y defendió con éxito su título.
El 6 de agosto de 1977 José Cuevas se enfrentó a Clyde Gray en un combate titular de welter por el título AMB. Cuevas tenía 19 años y un récord de 19-6 (17). Cuevas detuvo a Clyde Gray por asalto 2º KO y defendió con éxito su título.
El 20 de mayo de 1978 José Cuevas se enfrentó a Billy Backus en un combate titular de welter por el título AMB. Cuevas tenía 20 años y un récord de 22-6 (20). Cuevas detuvo a Billy Backus por asalto 2º TKO y defendió con éxito su título.
El 9 de septiembre de 1978 José Cuevas se enfrentó a Pete Ranzany en un combate titular de welter por el título AMB. Cuevas tenía 20 años y un récord de 23-6 (21). Cuevas detuvo a Pete Ranzany por asalto 2º TKO y defendió con éxito su título.
El 29 de enero de 1979 José Cuevas se enfrentó a Scott Clark en un combate titular de welter por el título AMB. Cuevas tenía 21 años y un récord de 24-6 (22). Cuevas detuvo a Scott Clark por asalto 2º TKO y defendió con éxito su título.